(轉)仲海峰:三角形內角和研課手記

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大 道 至 簡

——《三角形內角和》研課手記

江蘇省海安縣實驗小學    仲海峰

對“三角形內角和”一課的研討,焦點比較多地集中在“如何讓學生探究出三角形內角和是180°”。從幾套新教材的編排看,常用的方法有兩種:1.測量求和法;2剪拼法(將三角形的三個內角剪下來,拼成一個平角)。這兩種方法均貼近學生的思維水平,操作簡單,結論直接,但缺點也同樣明顯:測量時會有誤差,三角形三個內角的度數和未必正巧是180度,這使得測量結果非但不能驗證結論,相反卻給人以誤導;剪拼時會破壞原有圖形,不能很好地體現剪拼后的圖形與原三角形間的聯系與變化。

國標本蘇教版教材中還提供了一種“折拼法”(如圖1):將三角形三個角折拼在一起,組成一個平角。這種方法在一定程度上彌補了上面兩種方法的缺陷,但原理解釋起來費勁(必須沿著“中位線”折),學生操作起來困難——先折出一條邊上的“高”,找到對應的“垂足”,然后將三角形三個“頂點”對準“垂足”折疊,這樣三個角才能拼在一起(見圖2)。

在對“三角形內角和是180°”的各種探究方法的利弊、優劣進行了充分的分析、比對后,我們的課堂教學仍然遭遇到了不少“尷尬”:1.“三角形內角和是180°”這個結論大多數學生都預先知道,因此沒有太多的探究欲望;2.即便進行探究,也大多浮于形式,“測量求和”因無法消除誤差只能是走過場, “折拼”等方法只是先前看過書的一兩位學生表演。3.無論哪種方法,客觀存在且不可避免的誤差,都使得“三角形內角和是180°”這個結論“腰桿不硬”,不足以讓人信服。

問題出在哪兒呢?是我們的教學組織不力,還是我們的教學理解太淺?

在“簡潔、清晰、流暢、凝練、深刻中彰顯數學學科的本質”的簡約教學理念指導下,我們對“三角形內角和”的教學再度追問——

第一、學生學習“三角形內角和”的起點和重心是什么?

課前有學生就知道“三角形的內角和是180°”,這是不爭的事實。但對大多數學生而言,也只是聽到并機械地接受了這樣一個信息而已。至于三角形的內角和是180°依據是什么?學生普遍缺乏批判思考,更缺乏理性推斷。因此,教學的重心毫無疑問應該是讓學生經歷三角形的內角和之所以為180°的探究過程。

第二、用“直觀感知”的模糊法研究“三角形內角和”的可行性如何?

多數老師認為,小學學習數學,很多東西知道個大概就行了,沒必要太嚴密。在“三角形的內角和是180°”的幾種驗證方法中,測量求和也好,剪拼、折拼也罷,誤差是不可避免的,不必過于糾纏,學生能直觀感知到“三角形的內角和是180°”就行。對此,我們覺得:用存在“誤差”的方法能驗證“三角形內角和是180度”,那同樣也就可以驗證“三角形內角和是179度”。用這種不能讓老師自己信服的東西在課堂上忽悠學生大半節課,有多大的教學意義?在小學階段“不追求嚴密”并不說明就“追求不嚴密”,嚴密是數學的特征之一,在孩子“能力許可范圍內的”盡可能地培養他們準嚴密思維,我們認為這是需要的,也是必要的。

第三、是否有更嚴謹邏輯的適合小學生驗證“三角形內角和”方法?

通過查詢資料,我們了解到,有關“三角形的內角和是180°”較為嚴密的驗證方法有很多。據說帕斯卡11歲那年,他在玩矩形(長方形)時,發現了將矩形沿對角線剪開,能得到兩個完全相同的直角三角形。他想,矩形的四個直角加起來的和是360°,那分成的兩個完全一樣的直角三角形的內角和就應該是180°(見圖3)。這樣只要改變矩形長和寬就可以得到任意大小直角三角形。所以他推斷:“直角三角形內角和為180°。”

接著他又發現:“任何三角形都可以沿著高將它分成兩個小直角三角形”。這兩個直角三角形六個角加起來的和是360°,如果去掉兩個直角,剩下的就正好是原來三角形的三個內角的和180°(見圖4)。所以進一步推斷:“任意三角形內角和是180°。”

此外,還有人通過直觀演示來揭示“三角形的內角和是180°”。如圖5,先將鉛筆筆尖朝右與任意三角形ABC的一條邊AB重合,然后依次繞著三角形的三個內角的頂點旋轉,在鉛筆分別轉過角A、C、B后,筆尖正好調轉了方向,由向右變成向左,一共旋轉了180°,所以三角形內角和是180°。

相比較而言,上述兩種方法,跳出了簡單的直觀感知層面,避開了誤差尷尬,充滿著理性色彩和濃重的數學味兒。但因其思維層次高,對教師的教學引導提出了很高的要求。

基于上述思考,我嘗試著尋找“探究和講授的中間地帶”,上了一節研究課。課堂用講故事的形式引出改變帕斯卡一生的發現(三角形內角和定理);接著讓學生自主驗證、交流經驗;然后由教師演示講解上圖5所介紹的“用鉛筆旋轉證明三角形內角和是180°”;再接著借課件展示一組圖片(見下圖)建立新舊知識間的聯系;最后綜合應用。

整節課簡約、清晰流暢,總體感覺都打破了“唯探究”的束縛后,思想和行動顯得輕松靈活,學生的思維也相當活躍,探究中的新奇、驚嘆、成功喜悅溢于言表。先前遇到的“結論已知,學生無學習興趣”、“因探究方法的缺席導致結論出不來的尷尬”、“誤差的干擾”等老大難問題一一破解。

進,固然需要勇氣;退,更需要智慧用心。回顧“三角形內角和”的研課歷程:如果說備課之初的研讀教材讓我們的課堂走向豐富和深刻;那么緊接其后的對資料的“簡約化”處理則讓“豐富和深刻”回歸本源。正可謂——

“大道至簡,各道至繁;直指大道,方不為遮。”

——本文發表在《教育科研論壇》2010年第6期

溫州秀道 發表于 2011-4-22 8:27:00 |閱讀全文(196

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